1. Ir al diseñador del DBML, hacer click de la derecha y seleccionar "Properties"

paso1

2. En las propiedades dejar en blanco "Connection String" y "Application Settings"
Eso causa que la clase no cree el constructor default (sin parametros)

paso2

3. Luego podemos crear el contructor llamando al connection string que nosotros querramos

Imports System.Configuration

Partial Class MiDataContext
    Sub New()
        MyBase.New(ConfigurationManager.ConnectionStrings("MiConnString").connectionString)
    End Sub

End Class

Nota: Acordarse que para llamar a ConfigurationManager tenes que agregar la referencia a System.Configuration.dll